Raul Kangro, Liivi 2-408, rkangro@ut.ee
Eksamid: 22. dets. 1998 (9:00-12:00) ja 13.jaanuar 1999 (8:30-12:00) Liivi 2-104
Konsultatsioonid: 21. dets. 1998 10-12 Liivi 2-208, 12. jaanuar 1999 10-12 Liivi 2-104
Kursuse materjalid dvi formaadis
Dvi faile saab vaadata unix/linux masinas xdvi programmiga, Windowsi masinas näiteks PCTeX abil, lisaks saab vajalikku tarkvara siit
Eelmisel nädalal antud kodutöid korjatakse neljapäevastes loengutes tõenäosusega 0,25
Kodutöö nr. 1. Tähtaeg 17. september 1998
Leida xi+1 avaldis Schmidti meetodi kasutamise korral.
Kodutöö nr. 2. Tähtaeg 24. september 1998
1) Eeldame, et funktsioon f on alt tõkestatud ning
konstandiga L Lipschitz pideva gradiendiga. Näidata, et kui
gradiendimeetodis valida ai=1/L, siis grad f(xi)
koondub nullvektoriks.
2) Näidata, et kumera funktsiooni iga lokaalne miinimum on selle
funktsiooni globaalseks miinimumiks. Tõestada, et tugevalt
kumeral funktsioonil saab olla ülimalt üks lokaalne
miinimumkoht.
Kodutöö nr. 3. Tähtaeg 1. oktoober 1998
1) Leida kiireima laskumise meetodiga x1, kui x0=(1,-2)
ja f(x)=2x12-x1x2+4x22.
2) Näidata, et nullvektorist erinevad vektorid zj,
j=0..n-1, mis mingi sümmeetrilise positiivselt määratud
maatriksi A korral rahuldavad Azi.zj=0,
i<j, on lineaarselt sõltumatud.
Kodutöö nr. 4. Tähtaeg 8. oktoober 1998
1) Tõestada, et iga lõik ruumis Rn on kumer
hulk.
2) a) Teisendada ülesanne
max(20x1+30x2:0<=x1<=100,
0<=x2<=100, 20x1+15x2>=1500,
35x1+30x2<=5000)
kanoonilisele kujule.
b) Lahendada esialgne ülesanne graafiliselt.
Kodutöö nr. 5. Tähtaeg 15. oktoober 1998
1) Lahendada simpleksmeetodiga ülesanne
max{2x1+3x2: x1+x2<=5,
x1+3x2<=9, 0<= x1<=4, x1+2x2<=
8, x2>= 0}.
2) Tõestada leksikograafilise simpleksmeetodi lõplikkus.
Kodutöö nr. 6. Tähtaeg 29. oktoober 1998
1) Lahendada duaalse simpleksmeetodiga ülesanne
min{x1+x2: x1+2x2>=1,
2x1+x2>=1, x1>=0, x2>=
0}.
2) Lahendada kunstliku baasi meetodiga ülesanne
min{x1-2x2+x3+2x4: x1-2x2+x3+x4=8,
2x1+x2-x3-2x4=-2, x>=
0}.
Kodutöö nr. 7. Tähtaeg 5. november 1998
a) Sõnastada ülesandega
max{2x1+x2: 3x1-x2<=3,
x1-2x2>=-4, 2x1+x2>=
2, x>= 0}
duaalne ülesanne.
b) Lahendada mõlemad ülesanded.
Kodutöö nr. 8. Tähtaeg 12. november 1998
a) Lahendada Gomory I algoritmi abil ülesanne
max{2x1+x2: x2-x1>=-1,
2x1+3x2<=6, x1+x2>=
1, x>= 0, x1, x2 on täisarvud}.
b) Lahendada sama ülesanne harude ja tõkete meetodiga.
Kodutöö nr. 9. Tähtaeg 19. november 1998
Olgu X ja Y mingid ruumi Rn
alamhulgad. Defineerime Z={x-y:
x kuulub hulka X, y kuulub hulka Y}
a) Tõestada, et kui x0 on mingi
hulga X sisepunkt ning y0 kuulub
hulka Y, siis x0-y0
on hulga Z sisepunkt.
b) Näidata, et kui X ja Y on kumerad, siis ka Z on kumer..
Kodutöö nr. 10. Tähtaeg 26. november 1998
Kontrollida, kas x=( 0,1,2) on ülesande
min(x-y+2z: x-y+2z<=3, x2+xy+2y2-z<=0,
x,y,z>=0)
lahendiks.
Kodutöö nr. 11. Tähtaeg 10. detsember 1998
a) Tõestada, et ülesanded
min{f(x): fi(x)<=0,
i=1..m}
ja
min{v: f(x)<=v, fi(x)<=0,
i=1..m}
on samaväärsed (s.t. lahendite vahel on üksühene vastavus).
2) Leida alglähendist x0=(1,-1)
lähtudes lubatavate suundade meetodiga ülesande
min(x+y: x2+xy+2y2<=2)
parem lähislahend x1.
Hindamisest. Kursuse lõpuhinde määramiseks summeeritakse kodutööde (kuni 10p), kahe kontrolltöö (kumbki kuni 20p) ja kirjaliku lõpueksami (kuni 50p) eest saadud punktid.
''väga hea''>=85p
70p<= ''hea''<85p
50p<= ''rahuldav''<70p
''mitterahuldav''<50p
Järeltöid reeglina ei toimu, välja arvatud mõjuva põhjusega puudumise korral.
Kui esimesel katsel eksamiga kursusest läbi ei saa, siis järeleksamil tuleb rahuldava saamiseks saada 50% punktidest (kontrolltööd ja kodutööd enam arvesse ei lähe). Rahuldavast paremat hinnet järeleksamil ei ole võimalik saada.
Kirjandus
ü. Kaasik, L.Kivistik, Operatsioonianalüüs, 1982
E. Übi, Planeerimise ja juhtimise matemaatika, 1998
E. Polak, Optimization. Algorithms and Consistent Approximation.
Applied Mathematical Sciences 124, Springer-Verlag 1997.
F. L. Vasilev, Chislennye metody resheniya ekstremalnykh zadach, 1980