16. novembril 2012.a kell 14.15 kaitseb J. Liivi 2 - 403
Vitali Retšnoi doktoritööd "Vector fields and Lie group representations" (Vektorväljad ja Lie rühma esitused)
doctor of philosophy (matemaatika) kraadi saamiseks.
Juhendaja: Maido Rahula, emeriitprofessor, TÜ matemaatika instituut
Oponendid:
Vladimir Balan, professor, Bukaresti Polütehniline Ülikool, Rumeenia
Kaarin Riives-Kaagjärv, füüs.-mat.kand., Eesti Maaülikool, Eesti
Kokkuvõte:
Käesoleva väitekirja uurimisobjektiks on vektorväli, mis on üks olulisematest mõistetest diferentsiaalgeomeetrias ja globaalanalüüsis ning mis leiab rakendust pideva keskkonna mehaanikas ja dünaamilistes süsteemides. Töös on uurimisel vektorvälja kolm omapära. Esiteks, vektorväli on diferentsiaaloperaator ja me tõlgendame vektorvälja liikumise stopp-kaadrina. Teiseks, vektorväli projetseerib muutkonna invariantide ruumi ja sellega kaasneb singulaarsuste klassifitseerimine. Kolmandaks, vektorväli võib ise olla projetseeritav ja see võimaldab teistest struktuuridest (näit. lõpmatute džettide ruumist) saada vajalikke invariante ja sümmeetriaid. Väitekirja keskseks mõisteks on tensorväljade Lie tuletised. Töös tuletatakse Lie diferentsiaalarvutuse põhivalemid mitteholonoomses (koordinaatidevabas) baasis. Lie tuletiste abil kirjeldatakse, kuidas mitteholonoomne baas ise muutub vektorvälja voos (derivatsioonivalemid). Tutvustatakse tensorväljade integreerimine, mida vaadeldakse kui Lie diferentseerimise pöördoperatsiooni. Nimelt, tavalise integreeritava funktsiooni määramata ja määratud integraali mõisted on laiendatud üldisema tensorvälja juhule, kus valemites esinevad Lie tuletised. Lihtsamatel juhtudel on antud tensorvälja integraali geomeetriline tõlgendus. Lie tuletised on difeomorfismide rühma esituse infinitesimaalne versioon tensorväljadel. Seoses sellega töös uuritakse Lie rühma puutujarühma struktuur ning näidatakse, kasutades infinitesimaalmeetodeid (S.Lie mõttes), kuidas lineaarrühm GL(n,R) toimib iseendal vasak- ja paremnihetega ning siseautomorfismidega (adjungeeritud esitus). Väitekirjas uuritakse lõpmatute džettide ruumi struktuur. Nimelt, on teada, et analoogiliselt protsessile, kuidas sile kujutus tekitab lõpmatu džeti, siledate kujutuste kompositsioon tekitab lõpmatute džettide kompositsiooni. Töös defineeritakse lõpmatute džettide kompositsioon rekurrentse valemi abil nii, et definitsioon ei sõltuks konkreetsete kujutuste valikust. Näidatakse, kuidas vastavad täisdiferentsiaaloperaatorid ja Cartan'i välisdiferentsiaalvormid on seotud džettide kompositsioonil.